TRIANGULOS.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

USANDO TEOREMA DE PITAGORAS:

EJERCICIO: HALLAR LA LONGITUD DE LOS SEGMENTOS.

a.-

b.-

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS:

EJERCICIOS:

a)

b)

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

EJEMPLO:

a)

PRIMERO HAY QUE IDENTIFICAR EN LA FIGURA QUE ES LO QUE SE QUIERE DEMOSTRAR, EN ESTE CASO, QUE LAS BASES DE LOS TRIÁNGULOS AED  Y CEF SEAN CONGRUENTES, OSEA LOS SEGMENTOS AD Y CF . PARA LOGRAR ESTO:

 PRIMERO.-  HAY QUE DEMOSTRAR QUE LOS TRIÁNGULOS ABE Y CBE SON CONGRUENTES, LA RAZÓN  ES QUE AL DEMOSTRAR QUE SON CONGRUENTES TENEMOS COMO CONSECUENCIA QUE LOS SEGMENTOS AE Y CE SON CONGRUENTES, ENTONCES:

DEMOSTRACIÓN DE QUE EL TRIANGULO ABE ES CONGRUENTE AL TRIANGULO CBE.

  TENEMOS COMO DATOS QUE EL SEGMENTO AB ES CONGRUENTE CON EL SEGMENTO CB Y QUE EL ANGULO 1 ES CONGRUENTE CON EL ANGULO 2 NOS HACE FALTE UN SEGMENTO PARA USAR EL POSTULADO LAL Y ESTE LO ENCONTRAMOS USANDO EL SEGMENTO BE YA QUE PERTENECE A AMBOS TRIÁNGULOS Y SABEMOS QUE TODO SEGMENTO ES CONGRUENTE CON SIGO MISMO, CON ESTO YA PODEMOS APLICAR EL POSTULADO LADO ANGULO LADO PARA DEMOSTRAR QUE LOS TRIÁNGULOS ABE Y CBE SON CONGRUENTES.

AHORA PODEMOS DECIR QUE EL SEGMENTO AE ES CONGRUENTE CON EL SEGMENTO CE POR CORRESPONDENCIA ENTRE TRIÁNGULOS CONGRUENTES.

CHECA NUEVAMENTE LOS PRIMEROS 5 PASOS DE LA DEMOSTRACIÓN.

SOLO FALTE DEMOSTRAR QUE LOS TRIÁNGULOS AED Y CEF SON CONGRUENTES, ESTO ES MÁS SENCILLO PORQUE EN EL PASO 5 TENEMOS QUE EL SEGMENTO AE ES CONGRUENTE CON EL SEGMENTO CE, TENEMOS COMO DATO EL ANGULO 3 CONGRUENTE CON EL ANGULO 4 Y QUE EL SEGMENTO ED Y EL SEGMENTO EF SON CONGRUENTES, ENTONCES APLICAMOS EL POSTULADO LAL, Y TENEMOS QUE  LOS TRIÁNGULOS AED Y CEF SON CONGRUENTES.

Y CON ESTO PODEMOS DECIR QUE EL SEGMENTO AD ES CONGRUENTE CON EL SEGMENTO CF POR CORRESPONDENCIA DE TRIÁNGULOS COMO SE QUERÍA DEMOSTRAR.

CHECA NUEVAMENTE LOS PASOS DEL 5 AL 9 DE LA DEMOSTRACIÓN.

LEE Y OBSERVA NUEVAMENTE TODA LA DEMOSTRACIÓN HASTA QUE TE QUEDE CLARO.

b)

c)

SOLUCIÓN RECUPERACIÓN.

1.-

2.-TRANSFORME:

3.- DESARROLLE:

4.- RESUELVA:

5.- RESUELVA:

6.- La ley de Beer Lambert está dada por la ecuación I=I₀C^x, donde ésta expresa la cantidad de luz (I) que penetra a una profundidad de x metros en el fondo del mar e I₀ es la cantidad inicial de luz en la superficie. Despeja x para determinar a qué profundidad penetra la luz en el mar si C = 0.625 e I = 0.02I₀.  

x = 8.32339 metros.

7.-Dada una inversión con un capital de $5000, determinar el tiempo al que se debe invertir para que el monto duplique al capital, si la tasa de interés es de 4.5%. Formula de interés compuesto    M = C(1+i)^t.

Dónde: C es el capital, M es el monto a recibir, i es la tasa de interés y t es el tiempo de inversión.

SOLUCIÓN EXAEVACON.

Resuelva:

a)        Si b = 20; e = 10 ;  r = ¿?

b)       <CBD = 70° ;  <BCD = ¿?

c)        b = 15 ; n = 8 ; e = ¿?

d)      <ACD = 20° , <CAD = ¿?; <CBD = ¿? ; <BCD = ¿?

e)        b = x + 2 ; n = x ; e = x +1; r = ¿?; a = ¿?

2.- La recta AC es paralela a la recta BD, la m<1=130°, el segmento BC biseca al <ABD, encontrar los demás ángulos.

3. Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?

4. Encuentre x, y, z, con y=2x+2, de:

5. Calcular la altura de un árbol, sabiendo que a la misma hora del día proyecta una sombra de  12 m, mientras que una estaca de 1.50 m proyecta una sombra de 2.25 m.

CONVERSIÓN DE GRADOS.

DE GRADOS A RADIANES USAMOS LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:

EJEMPLOS:

60 ENTRE 80 LO PEDEMOS REDUCIR Y NO MULTIPLICAMOS PI.

DESPUÉS DE TRANSFORMAR A DECIMALES EN LA SUSTITUCIÓN SI MULTIPLICAMOS POR PI Y DIVIDIMOS ENTRE 180 GRADOS SIN SIMPLIFICAR.

DE RADIANES A GRADOS USAMOS LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:

EJEMPLOS:

SE HACE 1 LA DIVISIÓN DE PI ENTRE PI. 

SOLUCIÓN EXAMEN.

1.-

2.-

a)

b)

3.- HALLAR  x :

 a)

                        

b)

c)

4.- ENCONTRAR x USANDO :

 con b = 10

 a)

b) 

c)

5.-DESARROLLAR EN FORMA LOGARÍTMICA Y ENCONTRAR SU VALOR NUMÉRICO:

6.-RESOLVER LA ECUACIONES SIGUIENTES:

a)

b)

c)

7.-EL AUMENTO DE UNA POBLACIÓN CON UN PORCENTAJE DE 8 SE COMPORTA DE ACUERDO A LA SIGUIENTE RELACIÓN:  

DONDE P0 ES LA POBLACIÓN INICIAL Y t EL TIEMPO TRANSCURRIDO. SI EL RESULTADO ESTADÍSTICO EN CIUDAD OCULTA EN 1990 FUE DE 45 000 HABITANTES:

a) GRAFIQUE COMO AUMENTO LA POBLACIÓN POR AÑO HASTA EL 2000. 

 Solución de a):

b) ¿CUANTO TIEMPO SE NECESITA PARA QUE LA POBLACIÓN SEA DE

 1 000 000 DE HABITANTES?

Solución de b):

TAMBIÉN PUEDES USAR LOGARITMO BASE 10.

c) ¿CUANTOS HABITANTES HABRÁ EN EL 2012?

Solución de c):